文章目录
- 定义
- 反三角函数的常用结论
- 初等函数
- 三角函数的平方
- 两个三角函数之积
- 有理函数 p ( x ) q ( x ) \frac{p(x)}{q(x)} q(x)p(x)
- 其他题型归纳
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
本文列举了计算不定积分的一些实用结论
定义
csc x = 1 sin x , sec x = 1 cos x , cot x = csc x sec x \csc{x}=\frac{1}{\sin{x}},\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}},\cot{x}=\frac{\csc{x}}{\sec{x}} cscx=sinx1,secx=cosx1,cotx=secxcscx
sinh x = e x − e − x 2 , cosh x = e x + e − x 2 , tanh x = sinh x cosh x \sinh {x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\cosh {x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\tanh {x}=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}} sinhx=2ex−e−x,coshx=2ex+e−x,tanhx=coshxsinhx
反三角函数的常用结论
以下每组等式最后两个等号只在
x
>
0
x>0
x>0 时成立
arcsin
x
=
−
arcsin
(
−
x
)
=
π
2
−
arccos
x
=
arctan
x
1
−
x
2
=
arccos
1
−
x
2
=
arccot
1
−
x
2
x
\begin{split} \arcsin{x}&=-\arcsin{(-x)}\\ &=\frac{\pi}{2}-\arccos{x}\\ &=\arctan{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\\ &=\arccos{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\operatorname{arccot}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\\ \end{split}
arcsinx=−arcsin(−x)=2π−arccosx=arctan1−x2x=arccos1−x2=arccotx1−x2
arccos x = π − arccos − x = π 2 − arcsin x = arccot x 1 − x 2 = arcsin 1 − x 2 = arctan 1 − x 2 x \begin{split} \arccos{x}&=\pi-\arccos{-x}\\ &=\frac{\pi}{2}-\arcsin{x}\\ &=\operatorname{arccot}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\\ &=\arcsin{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arctan{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\\ \end{split} arccosx=π−arccos−x=2π−arcsinx=arccot1−x2x=arcsin1−x2=arctanx1−x2
arctan x = − arctan − x = π 2 − arccot x = arcsin x 1 + x 2 = arccos 1 1 + x 2 = arccot 1 x \begin{split} \arctan{x}&=-\arctan{-x}\\ &=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arccot}{x}\\ &=\arcsin{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\\ &=\arccos{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\\ &=\operatorname{arccot}{\frac{1}{x}}\\ \end{split} arctanx=−arctan−x=2π−arccotx=arcsin1+x2x=arccos1+x21=arccotx1
arccot x = π − arccot − x = π 2 − arctan x = arccos x 1 + x 2 = arcsin 1 1 + x 2 = arctan 1 x \begin{split} \operatorname{arccot}{x}&=\pi-\operatorname{arccot}{-x}\\ &=\frac{\pi}{2}-\arctan{x}\\ &=\arccos{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\\ &=\arcsin{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\\ &=\arctan{\frac{1}{x}}\\ \end{split} arccotx=π−arccot−x=2π−arctanx=arccos1+x2x=arcsin1+x21=arctanx1
初等函数
∫ ln x d x = x ln x − x + C \int \ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C ∫lnxdx=xlnx−x+C
∫ csc x d x = l n ∣ csc x − cot x ∣ + C , ∫ sec x d x = ln ∣ sec x + tan x ∣ + C \int \csc{x}\mathrm{d}x=ln|\csc{x}-\cot{x}|+C,\int \sec{x}\mathrm{d}x=\ln|\sec{x}+\tan{x}|+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C,∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣ + C , ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C \int\tan{x}\mathrm{d}x=-\ln|\cos{x}|+C,\int \cot{x}\mathrm{d}x=\ln|\sin{x}|+C ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C,∫cotxdx=ln∣sinx∣+C
∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 + C \int\arcsin{x}\mathrm{d}x=x\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C ∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2+C
∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C \int\arccos{x}\mathrm{d}x=x\arccos{x}-\sqrt{1-x^2}+C ∫arccosxdx=xarccosx−1−x2+C
∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C \int\arctan{x}\mathrm{d}x=x\arctan{x}-\frac{1}{2}\ln{(x^2+1)}+C ∫arctanxdx=xarctanx−21ln(x2+1)+C
三角函数的平方
∫ sec 2 x d x = tan x + C , ∫ csc 2 x d x = − cot x + C \int\sec^2{x}\mathrm{d}x=\tan{x}+C,\int \csc^2{x}\mathrm{d}x=-\cot{x}+C ∫sec2xdx=tanx+C,∫csc2xdx=−cotx+C
∫ tan 2 x d x = tan x − x + C , ∫ cot 2 x d x = − cot x − x + C \int\tan^2{x}\mathrm{d}x=\tan{x}-x+C,\int\cot^2{x}\mathrm{d}x=-\cot{x}-x+C ∫tan2xdx=tanx−x+C,∫cot2xdx=−cotx−x+C
两个三角函数之积
∫ sin x ⋅ tan x d x = ln ∣ tan x 2 + 1 tan x 2 − 1 ∣ − sin x + C \int \sin{x}\cdot\tan{x}\mathrm{d}x=\ln\bigg|\frac{\tan{\frac{x}{2}}+1}{\tan{\frac{x}{2}}-1}\bigg|-\sin{x}+C ∫sinx⋅tanxdx=ln tan2x−1tan2x+1 −sinx+C
∫ cos x ⋅ cot x d x = ln ∣ tan x 2 ∣ + cos x + C \int\cos{x}\cdot\cot{x}\mathrm{d}x=\ln{|\tan{\frac{x}{2}}|}+\cos{x}+C ∫cosx⋅cotxdx=ln∣tan2x∣+cosx+C
∫ tan x ⋅ csc x d x = cot x + C \int\tan{x}\cdot\csc{x}\mathrm{d}x=\cot{x}+C ∫tanx⋅cscxdx=cotx+C
∫ cot x ⋅ sec x d x = tan x + C \int\cot{x}\cdot\sec{x}\mathrm{d}x=\tan{x}+C ∫cotx⋅secxdx=tanx+C
∫ sec x ⋅ csc x d x = ln ∣ tan x ∣ + C \int\sec{x}\cdot \csc{x}\mathrm{d}x=\ln{|\tan{x}|}+C ∫secx⋅cscxdx=ln∣tanx∣+C
有理函数 p ( x ) q ( x ) \frac{p(x)}{q(x)} q(x)p(x)
有理函数即两个多项式 p ( x ) , q ( x ) p(x),q(x) p(x),q(x) 之比
首先总可以作带余除法使得分子的次数比分母小，故设 deg p ( x ) < deg q ( x ) \deg p(x)<\deg q(x) degp(x)<degq(x)
多项式函数
q
(
x
)
q(x)
q(x) 在数域
R
\mathbb{R}
R 上总可以分解为
q
(
x
)
=
(
x
−
a
1
)
m
1
⋯
(
x
−
a
r
)
m
r
(
x
2
+
b
1
x
+
c
1
)
n
1
⋯
(
x
2
+
b
s
x
+
c
s
)
n
s
q(x)=(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_r)^{m_r}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_sx+c_s)^{n_s}
q(x)=(x−a1)m1⋯(x−ar)mr(x2+b1x+c1)n1⋯(x2+bsx+cs)ns
的形式，则
p
(
x
)
q
(
x
)
\frac{p(x)}{q(x)}
q(x)p(x) 可分解为
∑
i
=
1
r
∑
j
=
1
m
i
λ
i
(
x
−
a
i
)
j
+
∑
p
=
1
s
∑
q
=
1
n
p
k
q
x
+
l
q
(
x
2
+
b
p
x
+
c
p
)
q
\sum\limits_{i=1}^r\sum\limits_{j=1}^{m_i}\frac{\lambda_i}{(x-a_i)^j}+\sum\limits_{p=1}^s\sum\limits_{q=1}^{n_p}\frac{k_qx+l_q}{(x^2+b_px+c_p)^q}
i=1∑rj=1∑mi(x−ai)jλi+p=1∑sq=1∑np(x2+bpx+cp)qkqx+lq
则对
p
(
x
)
q
(
x
)
\frac{p(x)}{q(x)}
q(x)p(x) 进行积分，只会出现以下两种类型
∫
λ
(
x
−
a
)
d
x
,
∫
k
x
+
l
x
2
+
b
x
+
c
d
x
\int\frac{\lambda}{(x-a)}\mathrm{d}x,\int\frac{kx+l}{x^2+bx+c}\mathrm{d}x
∫(x−a)λdx,∫x2+bx+ckx+ldx
这两种容易积分
其他题型归纳
0
2
\frac{0}{2}
20 型：（令
a
>
0
a>0
a>0）
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
arctan
x
a
+
C
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C
∫x2+a2dx=a1arctanax+C
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ∣ x − a x + a ∣ + C \int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln{|\frac{x-a}{x+a}|}+C ∫x2−a2dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C
0
2
\frac{0}{\sqrt{2}}
20 型：（令
a
>
0
a>0
a>0）
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
ln
(
x
+
x
2
+
a
2
)
+
C
\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})}+C
∫x2+a2dx=ln(x+x2+a2)+C
∫ d x x 2 − a 2 = ln ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|}+C ∫x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C
∫ d x a 2 − x 2 = arcsin x a + C \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C ∫a2−x2dx=arcsinax+C
2
\sqrt{2}
2 型：
∫
x
2
+
a
2
d
x
=
1
2
[
x
x
2
+
a
2
+
a
2
ln
(
x
+
x
2
+
a
2
)
]
+
C
\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})]+C
∫x2+a2dx=21[xx2+a2+a2ln(x+x2+a2)]+C
∫ x 2 − a 2 d x = 1 2 [ x x 2 − a 2 − a 2 ln ( x + x 2 − a 2 ) ] + C \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[x\sqrt{x^2-a^2}-a^2\ln(x+\sqrt{x^2-a^2})]+C ∫x2−a2dx=21[xx2−a2−a2ln(x+x2−a2)]+C
其他：
∫
sgn
x
f
(
x
)
d
x
=
sgn
x
∫
f
(
x
)
d
x
\int\operatorname{sgn}{x}f(x)\mathrm{d}x=\operatorname{sgn}{x}\int f(x)\mathrm{d}x
∫sgnxf(x)dx=sgnx∫f(x)dx
一个小技巧：
若要算
∫
cos
x
cos
x
+
sin
x
d
x
,
∫
sin
x
cos
x
+
sin
x
d
x
\int\frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\mathrm{d}x,\int\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\mathrm{d}x
∫cosx+sinxcosxdx,∫cosx+sinxsinxdx
可先算 ∫ cos x cos x + sin x + sin x cos x + sin x d x \int\frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}+\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\mathrm{d}x ∫cosx+sinxcosx+cosx+sinxsinxdx
和 ∫ cos x cos x + sin x − sin x cos x + sin x d x \int\frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}}-\frac{\sin{x}}{\cos{x}+\sin{x}}\mathrm{d}x ∫cosx+sinxcosx−cosx+sinxsinxdx
参考书：
- 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路
- 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
- 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
